在当前研究背景下，滤波器组多载波技术(Filter Bank Multi-Carrier, FBMC)成为了研究的热点，并且已被许多学者认定作为5G系统中可能替代OFDM的候选者[1-2]。FBMC系统通常采用在时频域两者都达到局部最优时的脉冲波形，代价是用较不严格的实正交性代替了复正交性。虽然FBMC与OFDM在原理方面有很强的相似性，但由于虚部干扰的存在，基于导频的信道估计技术就变得越发具有挑战性。如果能够消除虚部干扰，那么在OFDM系统中许多现有的技术就可应用于FBMC系统中。文献[3]提出了一种使用辅助导频来消除导频处的虚部干扰的方法，从而完成SISO-FBMC系统的信道估计工作。
当今频域资源越来越紧张，收发数据的需求量日益增大。为了节约导频资源及为了估计数据符号处的信道脉冲响应，使用具有低误差的有效插值技术至关重要。在OFDM系统中已有很多成熟的插值技术，如传统的线性插值、三次多项式插值以及一些改进插值算法[4-5]，近年来又出现了使用支持向量回归(Support Vector Regression, SVR)的插值技术[6]。
SVR是支持向量机(SVM)的重要应用分支，起源于统计学习理论，现广泛应用于数据挖掘领域和机器学习领域。SVR的功能在于在统计样本量较少的情况下，能够获得良好的统计规律，从而实现预测。
目前，在FBMC系统的信道估计方面，多数文献致力于研究FBMC的前导码或导频的设计[7-8]。信道插值则多使用传统的插值算法，鲜有SVR在FBMC信道估计中的应用研究。本文的研究工作和创新点在于：
(1) 使用辅助导频的方法消除虚部干扰，实现SISO-FBMC的信道估计。
(2) 研究了SVR的原理及其在信道插值方法中的应用。
(3) 将两者结合，实现基于SVR插值的SISO-FBMC时变信道估计，获取尽可能准确的信道状态信息(CSI)。
1 系统模型
对于SISO-FBMC系统而言，单天线上发送端的数据符号表示为xl,k，其中l为频率索引，k为符号序列索引，发送信号表示为
(1)
其中：
表示基本脉冲，可以看作是原型滤波器p(t)经过时频移所得；T为相邻实、虚部间的时间偏移；F为子载波间隔；L为子载波数；K为符号总数。接收端表示为
(2)
其中：r(t)表示通过信道后接收到的信号；yl,k为通过分析滤波器组
后的接收端的数据符号。在FBMC中，只有实值符号被传输，原本的复正交性被实正交性取代，时间间隔以及频率间隔都可以减小1/2，使TF=1/2(实信号)，而对于复信号有TF=1。所以根据Balian-Low定理[9]，FBMC在达到最大频谱效率的同时，也具有了可以使基本脉冲在时频域上实现局部最优的额外优点。
为了分析简单，将式(1)写成矩阵形式为
s=Gx
(3)
其中：G为基本脉冲矩阵；x为xl,k堆叠而成的矩阵：
(4)
Tt表示总时间索引，接收端的分析滤波器组矩阵为GH。则整个传输过程表达如下：
y=Dx·diag{h}+n
(5)
其中：D=GHG；h为长度Tt的时选信道矢量；n为高斯白噪声矩阵；接收端的数据矩阵为y∈CLK×Tt。在OFDM中，D为单位矩阵，而在FBMC中仅有D的实部构成单位矩阵，即R{D}=ILK。
文献[3]提出了一种辅助导频(Auxiliary Pilot, AP)算法，其思想为牺牲一个额外的数据符号作为辅助导频，使导频位置处存在的虚部干扰消除。则导频向量可以写为
(6)
为了尽可能少地牺牲数据符号，按照广义逆，解式(6)可得：
(7)
其中：
为广义逆；xP∈RP×Tp,xA∈RA×Tp,xD∈RD×Tp分别表示x中导频处的值、辅助导频处的值和数据位置处的值；Tp为放置导频的时间索引；DP,D的行向量对应矩阵D中的导频位置，列向量对应数据位置；DP,P和DP,A同样如此。综合式(3)、式(7)，发送端的表达式为
(8)
其中，A∈RLK×(LK-|A|)。A使D变成单位矩阵，表征了在发送端以辅助导频消除干扰的情况。因而在Tp中的时刻，在式(5)中，y由x完全响应，不存在虚部干扰项，可求出当时的信道响应系数，即h矢量中的元素。接下来在时域通过插值算法，即可得到完整的h矢量，从而完成信道估计工作。
2 基于SVR的信道插值
支持向量回归(SVR)问题可以描述为：假设已知数据集Tr={(x1,y1),…,(xl,yl)},其中xi∈Rn，yi∈R，i=1,2,…,l，则根据给定的训练集Tr，寻找Rn上的一个实值函数f*(x)，以便用y=f*(x)来推断任意模式x所对应的y值。
给定训练集Tr和ε>0，称一个超平面y=(w·x)+b为Tr对应的硬ε-带超平面。该超平面的ε-带包含了Tr训练集的所有训练点，即超平面y=(w·x)+b满足-ε≤yi-((w·xi)+b)≤ε，i=1,2,…,l，如图1所示。显然对于回归问题来说，ε越小越好，即寻找下列优化问题的最优值：
(9)
s.t. -ε≤yi-((w·xi)+b)≤ε,
i=1,2,…,l
接着构造两类点，令D+={(xi,yi+ε)}和D-={(xi,yi-ε)}，i=1,2,…,l，则回归问题转化成了对这两类点分类的问题，硬ε-带超平面即两类点的分类平面，因而式(9)可以等价转化为SVM分类问题：
s.t. (w·xi)+η(yi+ε)+b≥1,i=1,2,…,l
(w·xi)+η(yi-ε)+b≤-1,i=1,2,…,l
(10)
其中(w,η)为超平面的法向量形式。令(w*,η*,b*)为最优解，固定η*，令
则等效优化问题为
s.t. (w·xi)+b-yi≤ε*,i=1,2,…,l
yi-(w·xi)-b≤ε*,i=1,2,…,l
(11)
图1 硬ε-带超平面
Fig.1 The ε-hyper plane
根据SMO算法[10-11]思想及引入拉格朗日乘子，构造对偶问题，引入松弛变量及核函数(本文采用高斯径向基函数)后，最终非线性回归模型为
(12)
0≤αi≤C,0≤βi≤C,i=1,2,…,l
其中：αi，βi为拉格朗日乘子；C为离群点的惩罚因子，使用SMO算法迭代求解即可。
根据式(12)求解出最优解(w*,η*,b*)后，可构造出分类超平面(w*·x)+η*·y+b*=0，即
(13)
则有任意输入，根据式(13)可求解实现回归。
与信道插值的思想一致，SVR同样可以应用于信道估计的插值部分。对于信道矢量h，Tp时刻的索引和估计出来的信道响应系数作为训练集Tr，训练出如式(13)的SVR模型。将其他Tt中的时刻索引作为新样本，通过SVR模型插值出当时的信道响应系数，从而估计出整个信道矢量h，以此解调判决当时的数据符号块。
3 仿真与分析
基于上述模型和算法，对SISO-FBMC时变信道估计的性能进行仿真分析。仿真参数设定如下：令每K个FBMC符号为一块(burst)[12]进行调制发送。单径时选信道h为慢时变信道，慢时变是指信道系数在块内载波间保持不变，而在块间变化，且其衰落幅度值服从瑞利分布(Rayleigh Distribution)。考虑到训练模型的样本需要，含导频的数据块(训练样本)和纯数据块(测试样本)间隔发送，即1,3,5,…时刻的数据块模式，如图2所示，2,4,6,…时刻则为无导频纯数据的模式。根据文献[3]，每个导频处配有2个AP即可达到良好的效果。滤波器组为Hermite多项式，调制方式为OQAM/OPAM。SVR模型使用LIBSVM工具箱进行建模，核函数选为高斯函数。其他仿真参数如表1所示。其中P为块内导频个数，A为块内AP个数，Tp为导频时间索引。
图2示出了SISO-FBMC含导频的数据块中辅助导频的放置模式，蓝色为导频，绿色为2个辅助导频，其他则为数据。
图2 FBMC辅助导频模式
Fig.2 Auxiliary pilots’ pattern in FBMC
表1 仿真参数
Table1 Simulation parameters
图3示出了不同插值方法对应的均方差 (MSE)曲线。随着信噪比(SNR)的增加，3种方法的MSE都在减小，但相较于传统的线性插值(Linear)和三次多项式插值(Cubic)，SVR插值的曲线下降最快，性能最优。
图3 SISO-FBMC不同插值方法的MSE
Fig.3 MSE of three interpolation methods in SISO-FBMC system
图4示出了不同插值方法对应的误比特率 (BER)曲线。3种方法的BER曲线都随SNR的增加呈下降趋势。传统的插值方法性能基本相近，而SVR插值法性能较优，相同信噪比时的BER小于传统插值法。
图4 SISO-FBMC不同插值方法的BER
Fig.4 BER of three interpolation methods in SISO-FBMC system
在算法耗时和复杂度方面，传统的插值方法运算上并无循环和递归，只是单纯的顺序结构，时间复杂度为O(1)。而非线性核的SVM的时间复杂度在理论上不可能低于O(n2)[13]。表2示出了3种插值方法完成一次插值的平均时间(仿真环境为Window10 64位操作系统，Intel Xeon CPU E5-2630 v4 @2.20 GHz，64 GB内存)。
表2 平均运算时间
Table2 Average operating time
虽然SVR的平均耗时约为传统方法的两倍，但仍处于一个数量级之中，所以其牺牲了一点点运算速度，换来了更优的系统性能。
4 结束语
FBMC系统是未来5G通信系统中一个重要的潜在替代OFDM系统的方案。为了消除FBMC中存在的虚部干扰，提高性能，可使用辅助导频的方法来实现。此外，从时变信道估计的插值技术出发，研究了SVR回归模型的算法思想，并应用于信道插值之中。仿真结果表明，该方法在运算效率损失不大的同时，对传统FBMC时变信道估计的效果有了较大的提升，具有良好的性能表现。由于篇幅限制，本文只研究了单径时选(慢时变)信道，更为复杂的，如时频双选衰落信道、快时变稀疏信道等其他信道模型将作为后续的研究方向。
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